Kalimat pernyataan, kalimat terbuka, variabel, konstanta, dan himpunan penyelesaian

A. Kalimat Pernyataan

Dalam kehidupan sehari-hari, kita selalu dihadapkan pada berbagai persoalan yang memerlukan penyelesaian. Untuk menghadapi permasalahan ini diperlukan pemikiran dengan dasar-dasar yang ada dan bersifat logis.

Logika adalah salah satu alat yang sangat membantu masalah ini berpikir secara logis akan bersifat benar, sehingga dapat membantu untuk terhindar dari berbuat kesalahan. Lebih-lebih dalam matematika yang semua persoalannya baik pernyataan maupun definisi-definisi dan teorema-teorema harus ditanggapi berdasarkan logika.

Untuk selanjutnya, istilah pernyataan dan bukan pernyataan yang menjadi dasar dalam logika matematika satu sama lainnya dibedakan dengan kalimat-kalimat biasa. Pernyataan adalah kalimat matematika yang sudah jelas, yang sudah pasti benarnya atau salahnya dan tidak mempunyai dua arti. Sedangkan lawannya adalah bukan pernyataan, yaitu kalimat yang belum mempunyai kepastian benar atau salah, masih kabur, yang kadang-kadang dapat berupa perintah, pertanyaan, atau berupa kalimat yang belum lengkap dan bermakna ganda.

Kalimat-kalimat pernyataan dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal adalah pernyataan sederhana yang hanya terdiri dari satu kalimat, dan tidak mengandung suatu pernyataan lain sebagai komponen atau komponen bagiannya. Sebaliknya pernyataan majemuk adalah pernyataan yang mengandung pernyataan lain sebagai komponennya.

Karena setiap pernyataan hanyalah benar atau salah, maka semua kepada setiap pernyataan itu diberikan nilai kebenaran, yaitu benar (B) dan salah (S). Dalam hal ini nilai kebenaran itu mencakup pula nilai kebenaran pernyataan tunggal maupun pernyataan majemuk.

Contoh kalimat pernyataan yang benar:

1.  Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia

2.  3 + 9 = 12

3.  Jika x = 4, maka 2x = 8

4.  Semua manusia akan mati

5.  Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Contoh kalimat pernyataan yang salah:

1.Udara adalah benda padat

2.x – y = y – x; x ≠ y

3.4 + 9 < 7

4.Setiap bilangan prima adalah ganjil

5.Log (a + b) = log a + log b

Contoh bukan kalimat pernyataan:

1.   Salinlah contoh ini!

2.   Semoga Anda lulus ujian.

3.   x + 7 = 10

4.   x² + 2x – 15 = 0

5.   a + b > 9

B. Kalimat Terbuka

Sekarang kita tinjau kalimat berikut :

1. Seseorang memakai celana

2.            + 3 = 9

3. y, anggota bilangan asli yang ganjil

           Dalam matematika ketiga kalimat diatas disebut kalimat terbuka yang masing-masing mengandung variabel. Akibat memuat variabel-variabel, maka ke 3 kalimat itu tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. Karena kalimat-kalimat itu tidak mempunyai kalimat kebenaran berarti bukanlah pernyataan ( kalimat tertutup).

Sebuah kalimat terbuka dapat menjadi suatu kalimat tertutup setelah variabelnya diganti konstanta yang merupakan anggota dari himpunan semesta penggantinya dan memerlukan adanya rangkaian kalimat yang bermakna.

Contoh :  seseorang memakai kerudung diganti menjadi Dini memakai kerudung.

Tetapi berbeda dan tidak bermakna jika seseorang diganti menjadi handphone memakai kerudung

C. Notasi Kalimat Terbuka

         Suatu kalimat terbuka dalam bentuk-bentuk aljabar adakalanya memuat 1 variable ada kalanya pula memuat 2 variabel. Misalnya :

1.3x + 2 = 6

2.x² + x – 12 = 0

3.x + 2y = 20

Kalimat terbuka dengan 1 variabel misalnya x dinotasikan sebagai p(x), q(x), dan sebagainya. Sedangkan kalimat terbuka dengan 2 variabel misalnya variabel x dan y dinotasikan dengan p(x,y), q(x,y), dan sebagainya.

D. Variabel dan Konstanta

Dalam kalimat terbuka kita mengenal 2 jenis lambang , yaitu variabel dan konstanta. Konstanta adalah sesuatu yang sifatnya menunjukan sudah jelas, dapat menunjukan suatu hal tertentu yang sudah jelas, misalnya : orang, bilangan, mahluk hidup lainnya, benda, dan sebagainya. Adapun contoh konkret dari konstanta , misalnya nama orang : Ali, Oki, Yayan, nama gunung : Semeru, Krakatau, nama sungai : citarum, musi, dan sebagainya.

Variabel dalam suatu kalimat terbuka disebut pula peubah ialah suatu lambang yang sifatnya berlaku umum dan dapat diganti oleh lambang setiap anggota himpunan semesta. Jadi variabel sifatnya masih sebagai belum jelas, misalnya, ini, anu, iya, x, y dan sebagainya.

E. Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian

Selanjutnya, kita tinjau dua contoh kalimat-kalimat matematika sebagai berikut:

1.x – 4 = 7, x bilangan cacah

2.y + 5 < 10, y bilangan cacah

Apabila kita perhatikan kembali kedua contoh diatas tadi, ternyata dalam kalimat terbuka yang pertama x – 4 = 7, hanya ada satu konstanta yang merupakan anggota dari himpunan itu menjadi pernyataan yang benar, yaitu 11. Sedangkan selain dari itu, kalimat terbuka itu menjadi pernyataan yang salah. Tetapi, dalam contoh kalimat terbuka yang kedua y + 5 < 10, konstanta pengganti variabel y yang menyebabkan pernyataan benar tidak hanya satu, melainkan ada konstanta lainnya yang merupakan anggota semesta penggantinya.

Himpunan konstanta dari himpunan semesta penggantinya yang mengakibatkan kalimat matematika terbuka itu menjadi pernyataan yang benar disebut himpunan penyelesaian atau himpunan jawab kalimat terbuka itu. Misalnya :

1.himpunan penyelesaian x – 4 = 7 ialah {11}

2.himpunan penyelesaian y + 5 < 10, y ∈ bilangan cacah ialah {0,1,2,3,4}

3.himpunan penyelesaian x² = 9, ialah {3,-3}

4.himpunan penyelesaian y ≥ 3, ialah himpunan yang anggotanya banyak sekali.  

   Tetapi bila y itu terbatas dalam S = {y / y ∈ A, y < 10}, A = {bilangan asli} dan S

   merupakan himpunan semesta penggantinya, maka himpunan penyelesaiannya ialah

   {3,4,5,6,7,8,9}

5.himpunan penyelesaian kalimat p(x) ditulis {x / p(x)}.

Adanya himpunan penyelesaian untuk kalimat terbuka sangat tergantung pada himpunan semesta penggantinya.

Misalnya x + 3 = 3. Bila himpunan semesta penggantinya adalah himpunan bilangan bulat maka himpunan penyelesaiannya adalah {} tetapi bila himpunan semesta penggantinya adalah himpunan bilangan asli maka himpunan penyelesaiannya adalah {}.

Himpunan penyelesaian suatu kalimat terbuka dengan dua variabel kadang-kadang himpunan semestanya berlainan tetapi umumnya sama. Adapun penyelesaian suatu kalimat terbuka dengan dua variabel adalah pasangan konstanta. Sehingga, apabila dipergunakan untuk menggantikan variabel-variabel kalimat terbuka akan menghasilkan pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran yang benar.

Contoh :

2x + y = 22

Maka, pasangan berurutan (1,5) merupakan penyelesaian sebab 2.1 + 4.5 = 22. Merupakan pernyataan yang benar, tetapi pasangan (5,1) bukanlah penyelesaian, sebab 2.5 + 4.1 = 22 merupakan pernyataan yang salah.

Jadi, himpunan semua pasangan konstanta yang memenuhi variabel-variabel suatu kalimat terbuka sehingga menjadi pernyataan-pernyataan yang benar disebut himpunan penyelesaian kalimat terbuka tersebut.